MATEMATİKTE ŞİFRELEME

Uzun geçmişine rağmen şifreleme,her zaman matematiğin bir parçası olmuştur.

“İnceleme esnasında kafaları karıştıracak gizli bir yazışma metodu keşfetmenin zorluğuna inanabilecek fazla kimse yoktur.
Ama insan zekasının, yine insan zekasının çözemeyeceği bir şifre uydurmasının mümkün olamayacağı söylenebilir.”

Edgar Alan Poe 1841 İnsanın gizli haberleşme arzusu yazma kendisi kadar eskidir ve uygarlığın başlangıcına kadar dayanır. Gizli haberleşme metotları, aralarında Mezopotamya, Mısır, Hindistan, Çin ve Japonya’nın bulunduğu birçok eski toplumca geliştirilmişti ama şifrelemenin –diğer bir deyişle gizli muhabere sanatı ve bilimi- kökenine ait detaylar bilinmemektedir.

 Klasik Şifreleme
Avrupa’da şifrelemeye öncülük edenlerin yunanlıların en savaşçı kavmi olan Sapartalılar olduğunu biliyoruz. MÖ 400 yıllarında “scytale” olarak bilinen bir alet kullanıyorlardı. Alet, askeri birlikler arasında haberleşmeyi sağlayan, mesajı içeren sarmal bir deri yada parşömen şeridinin sarıldığı uca doğru incelen bir sopadan ibaretti. Kelimeler, şeridin her bir sarılışında bir harf olmak üzere sopaya uzunlamasına yazılıyordu. Açıldığında mesajın harfleri karışıyor ve parşömen bu şekliyle gönderiliyordu. Alıcı parşömeni aynı biçimdeki bir sopaya sarıyor ve mesajı görebiliyordu.

Julius Caesar da yazışmalarında basit bir harf değiştirme metodu kullandı. Caesear’ın mesajındaki her bir harf alfabede onu takip eden üçüncü sıradaki harf ile değiştirildi. A harfi D ile değiştirildi, B ile E vb. Örneğin, SON kelimesi şifreleme ile URP oldu. Bu metot, harf değiştirmenin sayısına bakılmaksızın, hala Caesar şifresi olarak adlandırılmaktadır. Basit değiştirme şifrelerini kırmak kolaydır. Birisi hepsini tek tek deneyebilir. Birebir değiştirmenin en genel halinde, sadece kaydırmayla sınırlamadan, 26! yani 403,291,461,126,605,635,584,000,000 tane değiştirme mümkündür. Ve bugün, birebir değiştirmeye dayalı –monoalfabetik şifreler olarak da bilinen- şifreler frekans analizleriyle kolayca kırılabilir. Metot 9. asırda arap asıllı matematikçi al-Kindi (800-873 MS) tarafından düşünülmüştür.

 Rönesans Dönemi Şifreleme
15. ve 16. yüzyıllarda, (monoalphabetic) tekalfabetik şifreler zamanla yerlerini daha sofistike** metodlara bıraktı. O dönemde Avrupa, özellikle İtalya, politik ve mali güç kavgaları, entrikaları ve kargaşalarının yeriydi, ve gizli ilişki ve casuslukların rahatlıkla gelişmesi ve yayılması için ideal bir atmosferdi.1460 yıllarında, Leone Battista Alberti (1404-1472) Ceaser şifrelerinin kullanımını basitleştiren eşmerkezli iki diskten oluşan bir alet geliştirdi. Yerine koyma –yani iki alfabenin birbirine bağlı kayması, iki diskin birbirine bağlı olarak dönmesi ile belirleniyordu.

Söylentiye göre, Alberti yaptığı aleti döndürerek bir mesaj içinde yerine koymayı değiştirmeyi de düşünmüştür. Böylelikle onun, değişik kayma sabitlerine sahip Caeser şifrelerinin üstüste kullanılması ilkesine dayanan, çokalfabetik (polyalphabetic) şifreleri keşfettiğine inanılmaktadır. Örneğin, mesajın ilk harfi 7 sıra kayar, ikinci harfi 14, üçüncü 19, dördüncü yine 7, beşinci 14, altıncı 19 sıra kayar, ve tekrar 7,14,19 kaymaları tüm mesaj boyunca devam eder. Bu sayı dizisi -örnekte 7,14,19- genelde gizli anahtar olarak adlandırılır. Bu özel anahtarı kullanarak SELL mesajını ZSES olarak okunan gizlenmiş şekline çeviririz.
Gizli yazılması gereken mesaja açıkyazı ve gizleme işine de şifreleme (encryption) denir.
Kırılamaz mı?
Polialfabetik şifreleri kırmak için ilk sistematik çalışma 1850 yıllarındadır. Bu çalışmanın temelindeki basit fikir şu gözleme dayanır: Eğer periodik çerçevede N farklı yerine koyma kullanırsak, şifreli yazıdaki her N inci karakter aynı tekalfabetik şifreyle kodlanmıştır. Bu durumda anahtarın uzunluğu olan N sayısını bulmalı ve şifreli yazının her bir N inci karakterinden oluşan alt kümelere frekans analizini uygulamalıyız.

Ama N sayısını nasıl buluruz? Şifreli yazıdaki tekrarlayan dizilere bakarız. Eğer açıkyazıdaki bir harf dizisi N nin katı bir aralıkta tekrarlıyorsa, karşılık gelen şifreli yazıdaki harf dizisi de tekrarlar. Örneğin, N=3 için, 7,14,19 anahtarıyla TOBEORNOTTOBE ifadesini ACULCVUCMACUL olarak kodlarız:

T

O

B

E

O

R

N

O

T

T

O

B

E

A

C

U

L

C

V

U

C

M

A

C

U

L

 

Burada ACUL tekrarlayan dizisi bir ipucudur. Tekrarlama 9 basamaklık bir mesafede görünüyor demek ki, N nin 9,3 veya 1 olabileceği sonucuna varırız. Sonra şifreli yazıda her 3. karaktere ve her 9. karaktere frekans analizi uygulayabiliriz, içlerinden biri açıkyazıyı ortaya çıkaracaktır. Bu deneme yanılma metodu N nin büyük değerleri, yani uzun anahtarlar için oldukça güçleşmektedir.

1920 yıllarında elektromekanik teknolojinin gelişmesiyle oijinal Alberti diskleri, bir sıra pervanenin dönmesiyle uzun aralıklı yerleştirmelerin bulunduğu kodlama dizilerinin oluşturulabildiği pervane makinelerine dönüştü. Muhtemelen bunların en meşhuru 1918 de Arthur Scherbius tarafından patenti alınan Enigma’dır.

Şifreleme analizinde kayda değer bir başarı olarak 1933 de Enigma şifresinin kırılması gösterilebilir. 1932 kışında, Varşova’da Polonya İstihbarat Servisi’nin şifre bürosunda sifre analizcisi olarak çalışan 27 yaşındaki Marian Rejewski, matematiksel olarak Enigma’nın ilk pervanesinin tertibatının nasıl olması gerektiğini buldu. Bundan sonra, Polonya Almanya’nın Enigma ile yazılmış binlerce mesajını çözebildi. 1939 Haziran’ında Polonya bu sırrı Fransız ve İngiliz analizcilerine verdi. Hitler Polonya ve Fransa’yı işgal ettikten sonra, Enigma şifrelerini kırma çabası İngiltere’de Bletchley Park’da devam etti. Burada kurulan okulda modern kodlama alanında önemli gelişmeler elde edildi.

 Gerçekten kırılamaz mı?

Uzun geçmişine rağmen şifrelemenin matematiğin bir parçası olması, 1940 ların sonuna doğru New Jersey Bell Laboratuarları’nda çalışan Claude Shannon (yanda) sayesine gerçekleşmiştir. Shannon, gerçekten kırılamaz şifrelerin mevcut olduğunu, ve hatta bunların 30 yıldır bilindiğini gösterdi. 1918 lerde Amerikalı telefon ve telgraf mühendisi Gilbert Vernam ve ordu haberleşmede görevli binbaşı Joseph Mauborgne böyle bir şifre buldular ve bir-zamanlı desteler yada Vernam şifreleri olarak adlandırıldı. Hem orijinal hem de modern Vernam şifreleri ikili sisteme dayanıyor. Mesaj, yada açıkyazı, herkesçe bilinen bir kuralla 0 ve 1 dizisine dönüştürülüyor. Anahtar ise aynı uzunluktaki diğer bir 0 ve 1 dizisidir. Mesajın her bir ‘bit’ i anahtarın karşılık gelen ‘bit’ i ile iki tabanında toplama kuralına göre birleştiriliyor.

0+0=0,
0+1=1+0=1,
1+1=0.

Anahtar 0 ve 1 lerden oluşan rastgele bir dizidir; dolayısıyla çıkan şifreli mesaj da rastgele ve birisi anahtarı bilmediği müddetçe karmakarışık görünüyor. Açıkyazı, şifreli mesaj ve anahtarı (tekrar iki tabaninda) toplamayla elde edilebilir.

 Dağıtma Problemi
Vernam şifrelerinin pratikte ciddi bir dejavantajı var: anahtar. Muhtemel kullanıcılar gizlice ve önceden anahtarı -0 ve 1 den oluşan uzun ve rastgele diziyi- kararlaştırmalılar. Bundan sonra anahtarı kodlama ve kırma için kullanabilirler, ve kodlanmış yazı mesajın gizliliğinden emin olarak radyo yayını, internet yada gazete vasıtasıyla açıkca yollanabilir. Ama anahtarın gönderici ve alıcı tarafından çok gizli bir kanalla bilinmesi gerekir, örneğin çok güvenilir bir telefon hattı, özel bir görüşme yada emin bir taşıyıcı aracılığıyla.

Güvenilir bir kanal genelde sadece belli zamanlarda ve belirli şartlar altında mümkündür. Böylesi bir haberleşmede tam güvenliği sağlamak için kullanıcılar, sonradan göndermek isteyecekleri mesaja hacimce denk gizli ve anlamsız bir yığın bilgiyi (anahtar) yanlarında taşımak zorunda kalacaklar. Açıkcası bu pek pratik sayılmaz.

Dahası, “güvenli” bir kanal bulunsa bile, bu güvenliğin gerçek manada garanti olduğu söylenemez. Şöyle bir problem var ki: prensip olarak, herhangi bir klasik özel kanal, kullanıcıların izlenildiklerini farkettirmeden pasif olarak takip edilebilir. Çünkü klasik fizik, ortamın hiçbir özelliğini bozmadan bütün fiziksel özelliklerinin ölçülebilmesine fırsat verir. Kodlama anahtarları da dahil olmak üzere her türlü bilgi bir obje yada sinyalin ölçülebilir fiziksel özelliklerinde kodlandığından, klasik teoriler pasif takip olasılığının önüne geçememektedirler. Ama kuantum kodlama sisteminin temelini oluşturan kuantum teorisinde durum farklıdır.