Matematikte ispat yapmak, verilen önermelerden belli bir sonucun
mantıksal olarak çıkartılabileceğini göstermek demektir. Bir çok ispat yöntemi
vardır. Biz, bu yöntemlerden önemli saydığımız dört yöntem üzerinde duracağız.
Bu yöntemleri sıralamadan önce teorem, hipotez (varsayım), sonuç, matematiksel kanıt kavramları üzerinde biraz durmakta yarar var.
Doğrulukları kabul edilen ya da varsayılan bir veya birden fazla önermenin kullanılarak, farklı bir önermenin doğruluğunu öne sürmeye teorem denir. Araştırmacının öne sürdüğü, doğruluğu ya da yanlışlığı henüz ispat edilmemiş önermeye teoremin hipotezi, doğru olduğu savunulan önermeye de teoremin sonucu denir.
Varsayımın (hipotezin) sonucu gerektirdiğini göstermeye de teoremin ispatı adı
verilir.


Burada ele alacağımız kanıtlama yöntemleri; doğrudan kanıtlama yöntemi,
dolaylı kanıtlama yöntemi, olmayana ergi yöntemi ve tümevarım yöntemi olacaktır.

Doğrudan Kanıtlama Yöntemi

p önermesi doğru iken p → q koşullu önermesi de doğru ise, q nun doğru olmak
zorunda olduğunu biliyoruz. Doğrudan kanıt yönteminin temelini bu kural oluşturur.
Bir başka ifadeyle, doğrudan kanıt yöntemi p ⇒ q gerektirmesini kanıtlamaktır.
O halde, bir teoremin varsayımı olan önermeyi H, sonucu olan önermeyi S ile gösterirsek,
teoremi doğrudan kanıt yöntemiyle kanıtlamak H ⇒ S gerektirmesini göstermek
demektir.

Dolaylı Kanıtlama Yöntemi

Herhangi p, q önermeleri için (p → q) ≡ [ (q') → (p') ] denkliğini biliyoruz (p’: p önermesinin değili).Dolaylı kanıt yönteminin temelini bu denklik oluşturur. O halde, bir teoremde
H ⇒ S gerektirmesi yerine ona denk olan S’ ⇒ H’ gerektirmesi kanıtlanabilir;
başka bir ifadeyle, bir teoremde sonucun değilinin doğruluğunu kabul edilip bunun
varsayımın değilinin doğruluğunu gerektirdiği gösterilirse, dolaylı kanıtlama
yöntemiyle teorem kanıtlanmış olur.

Olmayana Ergi Yöntemi

Bir teoremi olmayana ergi yöntemiyle kanıtlamada, teoremin varsayımının (H nin) ve sonucun değilinin (S’ nün) doğruluğu kabul edilir. Böylece H ve S’ nin tümel evetlenmesi olan H ∧ (S’) önermesinin doğru olduğu düşünülmüş olur. Bu kabulün, doğruluğu bilinen bir önermenin ya da öncül önermelerden birinin yanlışlığını gerektirdiği gösterilirse, bu durum H nin doğruluğu ile birlikte (S’) nin doğruluğunu varsaymanın olanaklı olmadığını gösterir. O halde, H doğru iken S’ yanlış, yani S doğru olmalıdır. Bu yolla yapılan kanıtlama olmayana ergi yöntemi diye
adlandırılır.

Tümevarım Yöntemi

Klasik Mantıkta tümevarım, usavurmanın (akıl yürütmenin) tikelden tümele giden
bir biçimidir; bir başka söyleyişle, bir bütünü oluşturan bireylere dayanarak bütün
konusunda yargıda bulunmaktır, diyebiliriz. Ancak burada sözünü edeceğimiz tümevarım,
Modern Mantıkta matematiksel kanıtlama yöntemlerinden biri olan, doğal
sayılara bağımlı bir özelliğin kanıtlanmasında izlenen yoldur. Bu yöntem çoğunlukla
tümevarım ilkesi olarak bilinir.

Tümevarım ilkesi: 0, 1, 2, 3, …, n, … doğal sayıları üzerine kurulmuş bir p(n) açık
önermesi aşağıdaki iki koşulu sağlamış olsun:
1°. p(0) doğrudur.
2°. Herhangi bir m doğal sayısı için p(m) doğru ise, p(m + 1) de doğrudur.
Bu durumda her n doğal sayısı için p(n) önermesi doğrudur.

• Tümevarım ilkesinde ilk adım deneme ya da kontrol amaçlıdır. n = 0 yerine n = 1, n = 2, n = 3, … ya da büyük bir k sayısı için p(k) önermesinin doğru olup olmadığı kontrol edilebilir. Bazen ilk doğal sayılar için doğru olmayan bir p(n) açık önermesi belli bir doğal sayıdan sonraki bütün doğal sayılar için doğru olabilir. Böyle bir durumda tümevarım ilkesinin ilk adımını p(n) nin doğru olduğu ilk doğal sayı ile başlatırız.
• Tümevarımın ikinci adımına bazen varsayım adımı da denir. Burada esas olan, tümevarımın ilk adımında doğruluğu saptanan p(k) önermesindeki k’dan daha büyük herhangi bir m doğal sayısı için p(m) önermesinin doğruluğunu kabul edip, bir sonraki sayı m + 1 için p(m + 1) önermesinin doğruluğunun kanıtlanmasıdır.